Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{{(x - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 6.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} {(u_{1} + 1)}^{- 2} d u_{1}$

Étape 7

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 7.1

Laissez $u_{2} = u_{1} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $u_{1} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $u_{1} + 1$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Étape 7.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {(u_{2} - 1)}^{3} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 8

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 8.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} \int {(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} \frac{1}{2} d u_{3}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3} d u_{3}$

Étape 9.2

Associez $\frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2}$ et ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3} {\sqrt{u_{3}}}^{- 3}}{2} d u_{3}$

Étape 9.3

Placez ${\sqrt{u_{3}}}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 {\sqrt{u_{3}}}^{3}} d u_{3}$

Étape 9.4

Réécrivez ${\sqrt{u_{3}}}^{3}$ comme $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{2 \sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3})$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 11.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{(\sqrt{u_{3}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 11.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 11.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{\sqrt{{u_{3}}^{3}}} d u_{3}$

Étape 11.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{u_{3}}^{3}}$ comme ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{{({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3}}{{u_{3}}^{\frac{3}{2}}} d u_{3}$

Étape 11.2.3

Retirez ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u_{3}$

Étape 11.2.4

Multipliez les exposants dans ${({u_{3}}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 11.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u_{3}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u_{3}$

Étape 11.2.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{\frac{- 3}{2}} d u_{3}$

Étape 11.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int {({u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1)}^{3} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{1}{4} \int ({({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{3} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 {({u_{3}}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

Étape 12.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1)) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 ({u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.11

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.12

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} (- - 1) {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.13

Déplacez ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.14

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.18

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.18.1

Annulez le facteur commun.

Étape 12.18.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.19

Simplifiez

$\frac{1}{4} \int u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.20

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

Étape 12.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.22

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.24

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{3 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.27

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.28

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.28.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 (0)}{2}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.28.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.28.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.28.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 12.28.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{\frac{0}{1}} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.28.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int {u_{3}}^{0} + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.29

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.30

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{1 + 1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.33

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.34

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.34.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.34.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.35

Simplifiez

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.36

Élevez $u_{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}) + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.37

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{1 - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.38

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.39

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{2 - 3}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.40

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.41

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 3 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.42

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.43

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.44

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{1 - 3}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.45

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 2}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.46

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 12.46.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.46.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.46.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.46.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.46.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{1}} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.46.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.47

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.48

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.49

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 + 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.50

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{4} \int - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 3 {u_{3}}^{- 1} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.51

Remettez dans l’ordre $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ et $3 {u_{3}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3}$

Étape 12.52

Déplacez $1$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 12.53

Déplacez $- 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Réécrivez $- 1 {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ comme $- {u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{\frac{- 1}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} \int 3 {u_{3}}^{- 1} - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 1 d u_{3}$

Étape 14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{4} (\int 3 {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 15

Comme $3$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (3 \int {u_{3}}^{- 1} d u_{3} + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 16

L’intégrale de ${u_{3}}^{- 1}$ par rapport à $u_{3}$ est $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) + \int - {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - \int {u_{3}}^{- \frac{3}{2}} d u_{3} + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 18

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) + \int - 3 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 19

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int d u_{3})$

Étape 20

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{3}$ est $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int d u_{3})$

Étape 21

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} (3 (\ln (| u_{3} |) + C) - (- 2 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + C) - 3 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + u_{3} + C)$

Étape 22

Simplifiez

$\frac{1}{4} (3 \ln (| u_{3} |) + \frac{2}{{u_{3}}^{\frac{1}{2}}} - 6 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3}) + C$

Étape 23

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 23.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {u_{2}}^{2} |) + \frac{2}{{({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({u_{2}}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {u_{2}}^{2}) + C$

Étape 23.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $u_{1} + 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(u_{1} + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(u_{1} + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(u_{1} + 1)}^{2}) + C$

Étape 23.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Associez les termes opposés dans $3 \ln (| {(x - 1 + 1)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}$ .

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Étape 24.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| {(x + 0)}^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x - 1 + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.5

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {({(x + 0)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x - 1 + 1)}^{2}) + C$

Étape 24.1.7

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(x + 0)}^{2}) + C$

Étape 24.1.8

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (| x^{2} |) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.2.1

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{{(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 24.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 24.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{2 (\frac{1}{2})}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x^{1}} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.2.2

Simplifiez

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 {(x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 24.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{2 (\frac{1}{2})} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x^{1} + x^{2}) + C$

Étape 24.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}) + \frac{2}{x} - 6 x + x^{2}) + C$

Étape 24.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2})) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4

Simplifiez

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Étape 24.4.1

Multipliez $\frac{1}{4} (3 \ln (x^{2}))$ .

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Étape 24.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} \ln (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.1.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (x^{2})$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{4} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 24.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (- 6 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 3 x)) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2} (- 3 x) + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.6

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 24.4.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 \ln (x^{2})}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 24.5.1

Développez $\ln (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{3 (2 \ln (x))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 24.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 \ln (x))$ .

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{4} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 24.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (\ln (x)))}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (\ln (x))}{2} + \frac{1}{2 x} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 24.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2 x} - \frac{3 x}{2} + \frac{x^{2}}{4} + C$

Étape 25

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$

Étape 26

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{3}}{2 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2 x} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} x^{2} + C$