Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{5} π {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Étape 1

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , placez $π$ en dehors de l’intégrale.

$π \int_{0}^{5} {(\frac{20 - 4 x}{5})}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Alors $d u = - \frac{4}{5} d x$ , donc $- \frac{5}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $\frac{20 - 4 x}{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 - 4 x}{5}]$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $20 - 4 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) - 4 x}{5}]$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5) + 4 (- x)}{5}]$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (5) + 4 (- x)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (5 - x)}{5}]$

Étape 2.1.3

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 (5 - x)}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 2.1.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.1.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4}{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.1.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.1.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4}{5} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.1.9

Associez les fractions.

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Étape 2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot - 1$

Étape 2.1.9.2

Associez $\frac{4}{5}$ et $- 1$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{5}$

Étape 2.1.9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.9.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{5}$

Étape 2.1.9.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{5}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{lower} = \frac{20 - 4 \cdot 0}{5}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $20 - 4 \cdot 0$ et $5$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 0}{5}$

Étape 2.3.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)}{5}$

Étape 2.3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 20) - (4 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 0)}{5}$

Étape 2.3.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)}{5}$

Étape 2.3.1.5

Factorisez $5$ à partir de $- 1 (- 20 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5}$

Étape 2.3.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 (1)}$

Étape 2.3.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$u_{lower} = \frac{5 (- 1 (- 4 + 0 \cdot 4))}{5 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)}{1}$

Étape 2.3.1.6.4

Divisez $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ par $1$ .

$u_{lower} = - 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$

Étape 2.3.2

Réécrivez $- 1 (- 4 + 0 \cdot 4)$ comme $- (- 4 + 0 \cdot 4)$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0 \cdot 4)$

Étape 2.3.3

Multipliez $0$ par $4$ .

$u_{lower} = - (- 4 + 0)$

Étape 2.3.4

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$u_{lower} = - - 4$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$u_{lower} = 4$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{20 - 4 x}{5}$ .

$u_{upper} = \frac{20 - 4 \cdot 5}{5}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun à $20 - 4 \cdot 5$ et $5$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - 4 \cdot 5}{5}$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \cdot 5$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)}{5}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 20) - (4 \cdot 5)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 20 + 4 \cdot 5)}{5}$

Étape 2.5.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 \cdot 5 - 20)}{5}$

Étape 2.5.1.5

Factorisez $5$ à partir de $- 1 (4 \cdot 5 - 20)$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5}$

Étape 2.5.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1.6.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 (1)}$

Étape 2.5.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$u_{upper} = \frac{5 (- 1 (4 - 4))}{5 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$u_{upper} = \frac{- 1 (4 - 4)}{1}$

Étape 2.5.1.6.4

Divisez $- 1 (4 - 4)$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1 (4 - 4)$

Étape 2.5.2

Réécrivez $- 1 (4 - 4)$ comme $- (4 - 4)$ .

$u_{upper} = - (4 - 4)$

Étape 2.5.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$u_{upper} = - 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = 0$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{4}{5}} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{1}{\frac{4}{5}} d u$

Étape 3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{4}{5}$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} (1 (\frac{5}{4})) d u$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $1$ .

$π \int_{4}^{0} - u^{2} \frac{5}{4} d u$

Étape 3.4

Associez $\frac{5}{4}$ et $u^{2}$ .

$π \int_{4}^{0} - \frac{5 u^{2}}{4} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$π (- \int_{4}^{0} \frac{5 u^{2}}{4} d u)$

Étape 5

Comme $\frac{5}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{5}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$π (- (\frac{5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $π$ et $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{π \cdot 5}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Étape 6.2

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$- \frac{5 π}{4} \int_{4}^{0} u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{4}^{0}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $0$ et sur $4$ .

$- \frac{5 π}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 4^{3})$

Étape 8.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{1}{3} \cdot 64)$

Étape 8.2.4

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 - 64 (\frac{1}{3}))$

Étape 8.2.5

Associez $- 64$ et $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5 π}{4} (0 + \frac{- 64}{3})$

Étape 8.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5 π}{4} (0 - \frac{64}{3})$

Étape 8.2.7

Soustrayez $\frac{64}{3}$ de $0$ .

$- \frac{5 π}{4} (- \frac{64}{3})$

Étape 8.2.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{5 π}{4} \frac{64}{3}$

Étape 8.2.9

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $1$ .

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Étape 8.2.10

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{64}{3}$ .

$\frac{5 π \cdot 64}{4 \cdot 3}$

Étape 8.2.11

Multipliez $64$ par $5$ .

$\frac{320 π}{4 \cdot 3}$

Étape 8.2.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{320 π}{12}$

Étape 8.2.13

Annulez le facteur commun à $320$ et $12$ .

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Étape 8.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $320 π$ .

$\frac{4 (80 π)}{12}$

Étape 8.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 (80 π)}{4 (3)}$

Étape 8.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (80 π)}{4 \cdot 3}$

Étape 8.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{80 π}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{80 π}{3}$

Forme décimale :

$83.77580409 \dots$

Étape 10