Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{{(x^{2} - 1)}^{3}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2} d x$

Étape 3

Développez ${(x^{2} - 1)}^{3} x^{- 2}$ .

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Étape 3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Étape 3.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Étape 3.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) + {(- 1)}^{3}) x^{- 2} d x$

Étape 3.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - {(- 1)}^{2}) x^{- 2} d x$

Étape 3.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1) - - - 1) x^{- 2} d x$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 x^{2} (- - 1)) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1) x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) x^{- 2} + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot - 1 x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.11

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.12

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 x^{2} (- - 1) x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.13

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.14

Déplacez les parenthèses.

$\int x^{2} x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.16

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.18

Additionnez $4$ et $2$ .

$\int x^{6} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{6 - 2} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.20

Soustrayez $2$ de $6$ .

$\int x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.21

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} x^{2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4} - 3 x^{2 + 2} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.23

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{4} x^{- 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4} - 3 x^{4 - 2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.25

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.26

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.27

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} x^{- 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2 - 2} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.29

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{0} - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.30

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 \cdot 1 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.31

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.32

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 + 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.33

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} + 3 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.34

Déplacez $3$ .

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

$\int x^{4} - 3 x^{2} - 1 x^{- 2} + 3 d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x^{2} d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 3 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 3 d x$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C) + 3 x + C$

Étape 11.2

Simplifiez

$\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

Étape 11.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

$\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + \frac{1}{x} + 3 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$