Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.1.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3 e^{0} - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0) - 0^{3}}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{\ln (1) - 0^{3}}$

Étape 1.3.7.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0^{3}}$

Étape 1.3.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} - 3}{\ln (1 - x) - x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x} - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{x} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.5

Additionnez $3 e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - x^{3}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (1 - x) - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.7

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.8

Associez $\frac{1}{1 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.7.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - (3 x^{2})}$

Étape 3.8.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1.1

Pour écrire $- 3 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} - 3 x^{2} \cdot \frac{1 - x}{1 - x}}$

Étape 3.9.1.2

Associez $- 3 x^{2}$ et $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{- \frac{1}{1 - x} + \frac{- 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Étape 3.9.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 1 - 3 x^{2} (1 - x)}{1 - x}}$

Étape 3.9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{3 e^{x}}{\frac{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}{- x + 1}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 3 e^{x} \frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{- x + 1}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ et $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1} e^{x}$

Étape 5.2

Associez $\frac{(- x + 1) \cdot 3}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$ et $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) \cdot 3 e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{(- x + 1) e^{x}}{- 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} (- x + 1) e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - x + 1 \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 11

Placez la limite dans l’exposant.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - 3 x^{2} (1 - x) - 1}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} 3 x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 13

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} (1 - x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 15

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} 1 - x - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 16

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 17

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 18

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{(- lim_{x \to 0} x + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 19

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 19.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 19.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 - lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 19.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{(0 + 1) \cdot e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$3 \frac{1 e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20.1.2

Multipliez $e^{0}$ par $1$ .

$3 \frac{e^{0}}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0^{2} \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{1}{- 3 \cdot 0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot (1 + 0) - 1 \cdot 1}$

Étape 20.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{1}{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Étape 20.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Étape 20.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{1}{0 - 1}$

Étape 20.2.6

Soustrayez $1$ de $0$ .

$3 (\frac{1}{- 1})$

Étape 20.3

Divisez $1$ par $- 1$ .

$3 \cdot - 1$

Étape 20.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3$