Calcul infinitésimal Exemples

$(\arcsin (e^{5 x}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = e^{5 x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{5 x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(e^{5 x})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{5 x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Associez $e^{5 x}$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 4.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Associez $5$ et $\frac{e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}} \cdot 1$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$ par $1$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{\sqrt{1 - e^{10 x}}}$