Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{2 + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 1.3.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 1.3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + lim_{x \to - 1} x^{3}}$

Étape 1.3.6

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 1.3.7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(lim_{x \to - 1} x)}^{3}}$

Étape 1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{e^{- 2 - 2 \cdot - 1} + {(- 1)}^{3}}$

Étape 1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.8.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{0}{e^{- 2 + 2} + {(- 1)}^{3}}$

Étape 1.3.8.1.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{e^{0} + {(- 1)}^{3}}$

Étape 1.3.8.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 + {(- 1)}^{3}}$

Étape 1.3.8.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 + 2 x}{e^{- 2 - 2 x} + x^{3}} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x} + x^{3}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- 2 - 2 x} + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 2 - 2 x}]$ .

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Étape 3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 - 2 x$ .

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Étape 3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 - 2 x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 - 2 x] + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.7

Soustrayez $2$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{e^{- 2 - 2 x} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.7.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 - 2 x}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{- 2 e^{- 2 - 2 x} + 3 x^{2}}$

Étape 3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to - 1} \frac{2}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{1}{3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 1} 3 x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{3 lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} e^{- 2 - 2 x}}$

Étape 11

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{lim_{x \to - 1} - 2 - 2 x}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- lim_{x \to - 1} 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Étape 13

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 1} 2 x}}$

Étape 14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 lim_{x \to - 1} x}}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$2 \frac{1}{3 {(- 1)}^{2} - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{1}{3 \cdot 1 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Étape 16.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 - 2 \cdot - 1}}$

Étape 16.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{- 2 + 2}}$

Étape 16.1.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 e^{0}}$

Étape 16.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2 \cdot 1}$

Étape 16.1.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 \frac{1}{3 - 2}$

Étape 16.1.7

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{1})$

Étape 16.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 1$

Étape 16.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$