Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{4 (x + b)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to - b} {(x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.2

Déplacez l’exposant $7$ de ${(x + b)}^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + lim_{x \to - b} {(x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.5

Déplacez l’exposant $10$ de ${(x + b)}^{10}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to - b} x + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $- b$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- b$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(lim_{x \to - b} x + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- b$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.9

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.9.1

Associez les termes opposés dans ${(- b + b)}^{7} + {(- b + b)}^{10}$ .

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Étape 2.1.2.9.1.1

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + {(- b + b)}^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.9.1.2

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0^{7} + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.9.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0^{10}}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.9.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.2.9.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to - b} x + b}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- b$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{- b + b}$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}}{x + b} = lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + b)}^{7} + {(x + b)}^{10}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{7}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x + b$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \frac{d}{d x} [x + b] + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + b)}^{10}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{10}$ et $g (x) = x + b$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \frac{d}{d x} [x + b]}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + \frac{d}{d x} [b])}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.4

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.5

Factorisez ${(x + b)}^{6}$ à partir de $7 {(x + b)}^{6} + 10 {(x + b)}^{9}$ .

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Étape 2.3.5.1

Factorisez ${(x + b)}^{6}$ à partir de $7 {(x + b)}^{6}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + 10 {(x + b)}^{9}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.5.2

Factorisez ${(x + b)}^{6}$ à partir de $10 {(x + b)}^{9}$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} \cdot 10 {(x + b)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.5.3

Factorisez ${(x + b)}^{6}$ à partir de ${(x + b)}^{6} \cdot 7 + {(x + b)}^{6} (10 {(x + b)}^{3})$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x + b]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + \frac{d}{d x} [b]}$

Étape 2.3.8

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1 + 0}$

Étape 2.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} \frac{{(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})}{1}$

Étape 2.4

Divisez ${(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} (7 + 10 {(x + b)}^{3})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to - b} {(x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $6$ de ${(x + b)}^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot lim_{x \to - b} 7 + 10 {(x + b)}^{3}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (lim_{x \to - b} 7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + lim_{x \to - b} 10 {(x + b)}^{3})$

Étape 3.7

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 lim_{x \to - b} {(x + b)}^{3})$

Étape 3.8

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + b)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Étape 3.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + lim_{x \to - b} b)}^{3})$

Étape 3.10

Évaluez la limite de $b$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- b$ .

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to - b} x + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $- b$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- b$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(lim_{x \to - b} x + b)}^{3})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- b$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} {(- b + b)}^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Additionnez $- b$ et $b$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{6} \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Étape 5.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 {(- b + b)}^{3})$

Étape 5.4

Additionnez $- b$ et $b$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0^{3})$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot (7 + 10 \cdot 0)$

Étape 5.5.2

Multipliez $10$ par $0$ .

$0 \cdot (7 + 0)$

Étape 5.6

Additionnez $7$ et $0$ .

$0 \cdot 7$

Étape 5.7

Multipliez $0$ par $7$ .

$0$