Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x^{6} \ln (2 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (2 x)$ et $d v = 5 x^{6}$ .

$\ln (2 x) (\frac{5}{7} x^{7}) - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{5}{7}$ et $x^{7}$ .

$\ln (2 x) \frac{5 x^{7}}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (2 x)$ et $\frac{5 x^{7}}{7}$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \int \frac{5}{7} x^{7} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{5}{7}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{7} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{7}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{7}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{7}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{7}$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int \frac{x^{6}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{6}$ par $1$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - (\frac{5}{7} \int x^{6} d x)$

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} \int x^{6} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{\ln (2 x) (5 x^{7})}{7} - \frac{5}{7} (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ comme $\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$ .

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{5}{7}$ et $\ln (2 x)$ .

$\frac{5 \ln (2 x)}{7} x^{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

Étape 6.2.2

Associez $\frac{5 \ln (2 x)}{7}$ et $x^{7}$ .

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{1}{7} x^{7} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{5}{7}$ .

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{7 \cdot 7} x^{7} + C$

Étape 6.2.4

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{5 \ln (2 x) x^{7}}{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$

$\frac{5}{7} \ln (2 x) x^{7} - \frac{5}{49} x^{7} + C$