Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y = 7$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y) = \frac{d}{d x} (7)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 x^{2} y - 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y' + 2 y x) - 4 y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 2 (x^{2} y') + 2 (2 y x) - 4 y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 y x - 4 y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y'$

Étape 3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y' + 4 x y - 4 y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $4 x y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x^{2} y' - 4 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x^{2} y'$ .

$2 y' x^{2} - 4 y' = - 3 x^{2} - 4 x y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2 = - 3 x^{2} - 4 x y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x^{2} + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ par $2 (x^{2} - 2)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (x^{2} - 2) = - 3 x^{2} - 4 x y$ par $2 (x^{2} - 2)$ .

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (x^{2} - 2)}{2 (x^{2} - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} - 2)}{x^{2} - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 4 x y}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} + \frac{- 2 x y}{x^{2} - 2}$

Étape 5.3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Étape 5.3.3.2

Pour écrire $- \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y}{x^{2} - 2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 5.3.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (x^{2} - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Multipliez $\frac{2 x y}{x^{2} - 2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{(x^{2} - 2) \cdot 2}$

Étape 5.3.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 2) \cdot 2$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{2 (x^{2} - 2)} - \frac{2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2} - 2 x y \cdot 2$ .

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Étape 5.3.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y \cdot 2}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y \cdot 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x) + x (- 2 y \cdot 2)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y \cdot 2)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.6.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x) - (4 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.3.6.4.1

Réécrivez $- (3 x + 4 y)$ comme $- 1 (3 x + 4 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 4 y))}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 5.3.3.6.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 4 y)}{2 (x^{2} - 2)}$