Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{15 ({(h - 8)}^{2} - 64)}{h}$

Étape 1

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 \frac{lim_{h \to 0} {(h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(h - 8)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - lim_{h \to 0} 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $64$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 \frac{{(lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 \frac{{(0 - 1 \cdot 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$15 \frac{{(0 - 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

$15 \frac{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$15 \frac{64 - 1 \cdot 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$15 \frac{64 - 64}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $64$ de $64$ .

$15 \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$15 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{{(h - 8)}^{2} - 64}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(h - 8)}^{2} - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.2

Réécrivez ${(h - 8)}^{2}$ comme $(h - 8) (h - 8)$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(h - 8) (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3

Développez $(h - 8) (h - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h (h - 8) - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 (h - 8) - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h \cdot h + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.4.1.1

Multipliez $h$ par $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} + h \cdot - 8 - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 \cdot h - 8 h - 8 \cdot - 8 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 8 h - 8 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.4.2

Soustrayez $8 h$ de $- 8 h$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2} - 16 h + 64 - 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $h^{2} - 16 h + 64 - 64$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h + \frac{d}{d h} [- 16 h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d h} [- 16 h]$ .

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Étape 2.3.7.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 16 h$ par rapport à $h$ est $- 16 \frac{d}{d h} [h]$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.7.3

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + \frac{d}{d h} [64] + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.8

Comme $64$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $64$ par rapport à $h$ est $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + \frac{d}{d h} [- 64]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 64$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- 64$ par rapport à $h$ est $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.10

Associez des termes.

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Étape 2.3.10.1

Additionnez $2 h - 16$ et $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16 + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.10.2

Additionnez $2 h - 16$ et $0$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 2.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 lim_{h \to 0} \frac{2 h - 16}{1}$

Étape 2.4

Divisez $2 h - 16$ par $1$ .

$15 lim_{h \to 0} 2 h - 16$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 (lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 16)$

Étape 3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 16)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$15 (2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 16)$

Étape 4

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$15 (2 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$15 (0 - 1 \cdot 16)$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$15 (0 - 16)$

Étape 5.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$15 \cdot - 16$

Étape 5.3

Multipliez $15$ par $- 16$ .

$- 240$