Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 \cos (4 x - 2) + 5 x d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \cos (4 x - 2) d x + \int 5 x d x$

Étape 5

Laissez $u = 4 x - 2$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u + \int 5 x d x$

Étape 6

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{4}$ .

$5 \int \frac{\cos (u)}{4} d u + \int 5 x d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u) + \int 5 x d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $5$ .

$\frac{5}{4} \int \cos (u) d u + \int 5 x d x$

Étape 9

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + \int 5 x d x$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 \int x d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{4} (\sin (u) + C) + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{5}{4} \sin (u) + 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 12.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} \sin (u) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 2$ .

$\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 \cos (4 x - 2) + 5 x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{4} \sin (4 x - 2) + \frac{5}{2} x^{2} + C$