Calcul infinitésimal Exemples

$x = 2 t - 5$ , $y = t^{2} + 4$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = 2 t - 5$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $2 t - 5 = x$ .

$2 t - 5 = x$

Étape 3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 t = x + 5$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 t = x + 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 t = x + 5$ par $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 5

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$

Étape 6

Simplifiez ${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2} + 4$ .

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez ${(\frac{x}{2} + \frac{5}{2})}^{2}$ comme $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ .

$y = (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Étape 6.1.2

Développez $(\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) (\frac{x}{2} + \frac{5}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Étape 6.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} (\frac{x}{2} + \frac{5}{2}) + 4$

Étape 6.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.1.1

Multipliez $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 6.1.3.1.1.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{1} x}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.1.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.2

Multipliez $\frac{x}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Étape 6.1.3.1.2.1

Multipliez $\frac{x}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x \cdot 5}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 \cdot x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.4

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Étape 6.1.3.1.4.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{x}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} + 4$

Étape 6.1.3.1.5

Multipliez $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ .

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Étape 6.1.3.1.5.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 2} + 4$

Étape 6.1.3.1.5.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{2 \cdot 2} + 4$

Étape 6.1.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $\frac{5 x}{4}$ et $\frac{5 x}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{4} + \frac{25}{4} + 4$

Étape 6.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 (2)} + \frac{25}{4} + 4$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 \frac{5 x}{2 \cdot 2} + \frac{25}{4} + 4$

Étape 6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4$

Étape 6.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 6.3

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 4 \cdot 4}{4}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{25 + 16}{4}$

Étape 6.5.2

Additionnez $25$ et $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{5 x}{2} + \frac{41}{4}$