Calcul infinitésimal Exemples

$- x y + 2 y + 5 x^{2} = - 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- x y + 2 y + 5 x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x y + 2 y + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (x y' + y) + 2 y' + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (x y' + y) + 2 y' + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x y' + y) + 2 y' + 5 (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$- (x y' + y) + 2 y' + 10 x$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x y') - y + 2 y' + 10 x$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x y' + 10 x - y + 2 y'$

Étape 3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' + 10 x - y + 2 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $10 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' - y + 2 y' = - 10 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' + 2 y' = - 10 x + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' + 2 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y' = - 10 x + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot 2 = - 10 x + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' \cdot 2$ .

$y' (- x + 2) = - 10 x + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 2) = - 10 x + y$ par $- x + 2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x + 2) = - 10 x + y$ par $- x + 2$ .

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 10 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x + 2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x + 2)}{- x + 2} = \frac{- 10 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 10 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{10 x}{- x + 2} + \frac{y}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 10 x + y}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 x$ .

$y' = \frac{- (10 x) + y}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (10 x) - 1 (- y)}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (10 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (10 x - y)}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- (10 x - y)$ comme $- 1 (10 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- x + 2}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- (x) + 2}$

Étape 5.3.3.8

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- (x) - 1 (- 2)}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- (x - 2)}$

Étape 5.3.3.10

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Étape 5.3.3.11

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (10 x - y)}{- 1 (x - 2)}$

Étape 5.3.3.12

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{10 x - y}{x - 2}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x - y}{x - 2}$