Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int \frac{2}{\sqrt{x}} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 9.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 x^{\frac{1}{2}} + C$