Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{5} x^{6}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 12}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- \frac{12}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{12 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 5$ par $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.6

Associez $\frac{- 60}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $5$ .

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Étape 2.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.2.7.2.4

Divisez $- 12 x^{4}$ par $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$