Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{0.5} x {(1 - x)}^{3} d x$

Étape 1

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Étape 1.3

Soustrayez $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 0.5$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $0.5$ .

$u_{upper} = 1 - 0.5$

Étape 1.5.2

Soustrayez $0.5$ de $1$ .

$u_{upper} = 0.5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0.5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{0.5} - (- u + 1) u^{3} d u$

Étape 2

Multipliez $- (- u + 1) u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} - - u u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{0.5} 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u \cdot u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3.3

Multipliez $u$ par $u^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $u$ par $u^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{1} u^{3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{1}^{0.5} u^{1 + 3} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 \cdot 1 u^{3} d u$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - 1 u^{3} d u$

Étape 3.5

Réécrivez $- 1 u^{3}$ comme $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{0.5} u^{4} - u^{3} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{0.5} u^{4} d u + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} + \int_{1}^{0.5} - u^{3} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - \int_{1}^{0.5} u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{0.5})$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0.5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{5} u^{5}$ sur $0.5$ et sur $1$ .

$(\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{0.5})$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{u^{4}}{4}$ sur $0.5$ et sur $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot {0.5}^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Élevez $0.5$ à la puissance $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0.03125 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $0.03125$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1 - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0.03125}{5} - \frac{1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.03125 - 1}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.6

Soustrayez $1$ de $0.03125$ .

$\frac{- 0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{{0.5}^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.8

Élevez $0.5$ à la puissance $4$ .

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Étape 9.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{0.96875}{5} - (\frac{0.0625}{4} - \frac{1}{4})$

Étape 9.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{0.0625 - 1}{4}$

Étape 9.3.11

Soustrayez $1$ de $0.0625$ .

$- \frac{0.96875}{5} - \frac{- 0.9375}{4}$

Étape 9.3.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{0.96875}{5} - - \frac{0.9375}{4}$

Étape 9.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + 1 (\frac{0.9375}{4})$

Étape 9.3.14

Multipliez $\frac{0.9375}{4}$ par $1$ .

$- \frac{0.96875}{5} + \frac{0.9375}{4}$

Étape 9.3.15

Pour écrire $- \frac{0.96875}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4}$

Étape 9.3.16

Pour écrire $\frac{0.9375}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.17.1

Multipliez $\frac{0.96875}{5}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.17.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 9.3.17.3

Multipliez $\frac{0.9375}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Étape 9.3.17.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$- \frac{0.96875 \cdot 4}{20} + \frac{0.9375 \cdot 5}{20}$

Étape 9.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 0.96875 \cdot 4 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Étape 9.3.19

Multipliez $- 0.96875$ par $4$ .

$\frac{- 3.875 + 0.9375 \cdot 5}{20}$

Étape 9.3.20

Multipliez $0.9375$ par $5$ .

$\frac{- 3.875 + 4.6875}{20}$

Étape 9.3.21

Additionnez $- 3.875$ et $4.6875$ .

$\frac{0.8125}{20}$

Étape 10

Divisez $0.8125$ par $20$ .

$0.040625$

Étape 11