Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{5}}}]$ comme $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 \sqrt[3]{x^{3} x^{2}}}]$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \sqrt[3]{x^{2}})}]$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x \cdot x^{\frac{2}{3}})}]$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 (x^{1} x^{\frac{2}{3}})}]$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{1 + \frac{2}{3}}}]$

Étape 3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Étape 3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{3 + 2}{3}}}]$

Étape 3.4

Additionnez $3$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}]$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{3}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

Étape 5.2.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Étape 10.2

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Étape 11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Étape 12

Associez $x^{- \frac{8}{3}}$ et $\frac{5}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Étape 13

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{6}$

Étape 14.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{- \frac{8}{3}}$ .

$- \frac{5 \cdot x^{- \frac{8}{3}}}{6}$

Étape 14.3

Placez $x^{- \frac{8}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{5}{6 x^{\frac{8}{3}}}$