Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.10.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (8 \cdot 0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot \cos (0) + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0 + 2 \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 2 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.1.7

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.2.10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\tan (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)}{\tan (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x \cos (8 x) + 2 \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x \cos (8 x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \cos (8 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x \cos (8 x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x \frac{d}{d x} [\cos (8 x)] + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 8 x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) (8 \cdot 1)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- \sin (8 x) \cdot 8) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.8

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.3.9

Multipliez $\cos (8 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + \frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \sin (5 x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin (5 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.6

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cdot \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x)) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x (- 8 \sin (8 x))) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 1.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x) \cdot 2}$

Étape 1.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $- 16 x \sin (8 x) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16 x \sin (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 \cos (8 x) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 8 x \sin (8 x)) + 2 (\cos (8 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 10 \cos (5 x)}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.4

Factorisez $2$ à partir de $10 \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x)) + 2 (5 \cos (5 x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 (\sec^{2} (2 x))}$

Étape 1.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x))}{2 \sec^{2} (2 x)}$

Étape 1.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{- 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{\sec^{2} (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 8 x \sin (8 x) + \cos (8 x) + 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 8 x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.6

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos (8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (lim_{x \to 0} 8 x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.11

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x)}$

Étape 2.12

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2}}$

Étape 2.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 2.14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 8 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 lim_{x \to 0} x) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 lim_{x \to 0} x) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- 8 \cdot 0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (8 \cdot 0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0) + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot 0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.4

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0 + \cos (8 \cdot 0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.5

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0 + \cos (0) + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (5 \cdot 0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.7

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cos (0)}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5 \cdot 1}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{0 + 1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.10

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 + 5}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.11

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{6}{\sec^{2} (2 \cdot 0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{6}{\sec^{2} (0)}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{6}{1^{2}}$

Étape 4.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6}{1}$

Étape 4.3

Divisez $6$ par $1$ .

$6$