Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5$

Étape 1

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{9} 3 i^{2} + 8 i - 5 = 3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2} + 8 \sum_{k = 1}^{9} i + \sum_{k = 1}^{9} - 5$

Étape 2

Évaluez $3 \sum_{k = 1}^{9} i^{2}$ .

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Étape 2.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(3) (\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $9$ et $1$ .

$3 \frac{9 \cdot 10 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $9$ par $10$ .

$3 \frac{90 (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$3 \frac{90 (18 + 1)}{6}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $18$ et $1$ .

$3 \frac{90 \cdot 19}{6}$

Étape 2.3.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $90$ par $19$ .

$3 (\frac{1710}{6})$

Étape 2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 \frac{1710}{3 (2)}$

Étape 2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1710}{3 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1710}{2}$

Étape 2.3.2.3

Divisez $1710$ par $2$ .

$855$

Étape 3

Évaluez $8 \sum_{k = 1}^{9} i$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(8) (\frac{9 (9 + 1)}{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $9$ et $1$ .

$8 \frac{9 \cdot 10}{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$8 (\frac{90}{2})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \frac{90}{2}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \frac{90}{2}$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 90$

Étape 3.3.3

Multipliez $4$ par $90$ .

$360$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 1}^{9} - 5$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 5) (9)$

Étape 4.3

Multipliez $- 5$ par $9$ .

$- 45$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$855 + 360 - 45$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Additionnez $855$ et $360$ .

$1215 - 45$

Étape 6.2

Soustrayez $45$ de $1215$ .

$1170$