Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - \int x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2} + C - (- x^{- 1} + C)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2} \cdot 2} - - x^{- 1} + C$

Étape 8.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 8.2.4

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 x^{2}} + x^{- 1} + C$