Calcul infinitésimal Exemples

$y - 2 y^{2} = - x^{3} - y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y - 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- x^{3} - y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$y' - 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y' - 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' - 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' - 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' - 2 (2 y y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y' - 4 y y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 y y' + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$- 3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Étape 3.3.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 y y' + y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $3 y^{2} y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y y' + y' + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y y'$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 4 y) + y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (- 4 y) + y' \cdot 1 + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Étape 5.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 y + 1) + y' (3 y^{2})$ .

$y' (- 4 y + 1 + 3 y^{2}) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez.

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Étape 5.3.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.3.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 y$ .

$y' (3 y^{2} - 4 y + 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.2.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1$ plus $- 3$

$y' (3 y^{2} + (- 1 - 3) y + 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (3 y^{2} - 1 y - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.3.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' ((3 y^{2} - 1 y) - 3 y + 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' (y (3 y - 1) - (3 y - 1)) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y - 1$ .

$y' ((3 y - 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ par $(3 y - 1) (y - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y - 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ par $(3 y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 1$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y - 1) (y - 1)}{(3 y - 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$