Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 + \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 + \sin (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 7

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$

Étape 9

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\cos (x)}{{(2 + \sin (x))}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 + \sin (x)} + C$