Calcul infinitésimal Exemples

$- y^{3} + 5 - y^{2} + y = 2 x^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (- y^{3} + 5 - y^{2} + y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y^{3} + 5 - y^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$- (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- 3 y^{2} y' + 0 - 2 y y' + y'$

Étape 2.6

Additionnez $- 3 y^{2} y'$ et $0$ .

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y' - 2 y y' + y'$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - 2 y y' + y' = 6 x^{2}$

Étape 5.1.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Étape 5.1.3

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' = 6 x^{2}$

Étape 5.1.4

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Étape 5.1.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 3 y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1 = 6 x^{2}$

Étape 5.1.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 3 y^{2} - 2 y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' (- 3 y^{2} - 2 y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$y' (- 3 y^{2} + (1 - 3) y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (- 3 y^{2} + 1 y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$y' (- 3 y^{2} + y - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y' ((- 3 y^{2} + y) - 3 y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y' (y (- 3 y + 1) + 1 (- 3 y + 1)) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 y + 1$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y + 1)) = 6 x^{2}$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ par $(- 3 y + 1) (y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 3 y + 1) (y + 1) = 6 x^{2}$ par $(- 3 y + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 y + 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y + 1)}{(- 3 y + 1) (y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y + 1)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- (3 y - 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $- (3 y - 1)$ comme $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y + 1)}$

Étape 5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{(3 y - 1) (y + 1)}$