Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(2 x + 3)}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 2 x + 3$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} (2 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 3 {(2 x + 3)}^{- 4} \cdot 2$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 {(2 x + 3)}^{- 4}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{- 6}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{{(2 x + 3)}^{4}}$