Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 2 \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ est positif.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.5

Réorganisez les termes.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.7

Réécrivez $4 \sec^{2} (t)$ comme ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) (2 \sec (t)) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $8$ .

$\int 16 \tan^{3} (t) \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $16$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2.6

Multipliez $\sec (t)$ par $\sec^{2} (t)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1

Déplacez $\sec^{2} (t)$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $\sec^{2} (t)$ par $\sec (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.2.1

Élevez $\sec (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 32 \tan^{3} (t) {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Étape 2.2.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int 32 \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 3

Comme $32$ est constant par rapport à $t$ , placez $32$ en dehors de l’intégrale.

$32 \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\tan^{2} (t)$ .

$32 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$32 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

Étape 6

Laissez $u = \sec (t)$ . Alors $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , donc $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = \sec (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Différenciez $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$32 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 7

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$32 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$32 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$32 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$32 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$32 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$32 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$32 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$32 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (t)$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$32 (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{1}{2} x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (\frac{1}{2} x))) + C$