Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{3}}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\cos^{6} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.3

Réécrivez $\cos^{6} (t)$ comme ${(\cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\cos^{3} (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{\cos^{3} (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\cos (t) \cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ à $\sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) d t$

Étape 5

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$\tan (t) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$\tan (\arcsin (x)) + C$