Calcul infinitésimal Exemples

$\int 3 x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x {(2 x - 1)}^{2} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 x - 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 2 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{2} \frac{1}{2} d u$

Étape 3

Associez $\frac{1}{2}$ et $u^{2}$ .

$3 \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{u}{2}$ par $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u \cdot u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.3

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$3 \int \frac{u^{1} u^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \int \frac{u^{1 + 2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{2}}{2} d u$

Étape 4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{u^{2}}{2}$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{2 \cdot 2} d u$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 \int \frac{u^{3}}{4} + \frac{u^{2}}{4} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int \frac{u^{3}}{4} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} \int u^{3} d u + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{4}$ et $u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \int \frac{u^{2}}{4} d u)$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} \int u^{2} d u)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Étape 11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} (\frac{u^{4}}{4} + C) + \frac{1}{4} (\frac{u^{3}}{3} + C))$

Étape 11.2

Simplifiez

$3 (\frac{u^{4}}{16} + \frac{u^{3}}{12}) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$3 (\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{16} + \frac{{(2 x - 1)}^{3}}{12}) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 (\frac{1}{16} {(2 x - 1)}^{4} + \frac{1}{12} {(2 x - 1)}^{3}) + C$