Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 2 x - 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 2 x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{\sqrt{u}} d u$

Étape 7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 7.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 7.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int (20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8

Développez $(20 {(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2} - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.1

Réécrivez ${(\frac{u}{2} + \frac{3}{2})}^{2}$ comme $(\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u}{2} + \frac{3}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int (20 ((\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) (\frac{u}{2} + \frac{3}{2})) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + \frac{3}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2})) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} (\frac{u}{2} + \frac{3}{2})) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) - 30 (\frac{u}{2} + \frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) - 30 \frac{u}{2} - 30 (\frac{3}{2}) + 7) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.9

Appliquez la propriété distributive.

Étape 8.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 \frac{u}{2} - 30 (\frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.11

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int (20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + (20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 \frac{u}{2} - 30 (\frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.12

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + (20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 \frac{u}{2} - 30 (\frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.13

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 \frac{u}{2} - 30 (\frac{3}{2})) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.14

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{u}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{u}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{u}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.15

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{2} \int 20 \frac{u}{2} \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.16

Déplacez les parenthèses.

$\frac{1}{2} \int 20 \frac{u}{2} \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.17

Associez $20$ et $\frac{u}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u}{2} \cdot \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.18

Multipliez $\frac{20 u}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u \cdot u}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.19

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 (u^{1} u)}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.20

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 (u^{1} u^{1})}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{1 + 1}}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{2}}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.23

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{2}}{4} u^{- \frac{1}{2}} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.24

Associez $\frac{20 u^{2}}{4}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{2} u^{- \frac{1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{2 - \frac{1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.26

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.27

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.29.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{4 - 1}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.29.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + 20 \frac{u}{2} \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.30

Associez $20$ et $\frac{u}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.31

Multipliez $\frac{20 u}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.32

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3}{4} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.33

Associez $\frac{20 u \cdot 3}{4}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.34

Associez $20$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 \cdot 3}{2} \cdot \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.35

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60}{2} \cdot \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.36

Multipliez $\frac{60}{2}$ par $\frac{u}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.37

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u}{4} u^{- \frac{1}{2}} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.38

Associez $\frac{60 u}{4}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.39

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}})}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.40

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{1 - \frac{1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.41

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.42

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{2 - 1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.43

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + 20 (\frac{3}{2}) \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.44

Associez $20$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 \cdot 3}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.45

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{60}{2} \cdot \frac{3}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.46

Multipliez $\frac{60}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 \cdot 3}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.47

Multipliez $60$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180}{2 \cdot 2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.48

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180}{4} u^{- \frac{1}{2}} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.49

Associez $\frac{180}{4}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} - 30 \frac{u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.50

Associez $- 30$ et $\frac{u}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u}{2} u^{- \frac{1}{2}} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.51

Associez $\frac{- 30 u}{2}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.52

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 (u^{1} u^{- \frac{1}{2}})}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.53

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.54

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.55

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.56

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 30 (\frac{3}{2}) u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.57

Associez $- 30$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 30 \cdot 3}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.58

Multipliez $- 30$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 90}{2} u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.59

Associez $\frac{- 90}{2}$ et $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 90 u^{- \frac{1}{2}}}{2} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 8.60

Pour écrire $7 u^{- \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 90 u^{- \frac{1}{2}}}{2} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} d u$

Étape 8.61

Associez $7 u^{- \frac{1}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 90 u^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} d u$

Étape 8.62

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} d u$

Étape 8.63

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} d u$

Étape 8.64

Pour écrire $\frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \cdot \frac{2}{2} d u$

Étape 8.65

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.65.1

Multipliez $\frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{(- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2) \cdot 2}{2 \cdot 2} d u$

Étape 8.65.2

Multipliez $2$ par $2$ .

Étape 8.66

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2) \cdot 2}{4} d u$

Étape 8.67

Remettez dans l’ordre $\frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4}$ et $\frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2) \cdot 2}{4} d u$

Étape 8.68

Remettez dans l’ordre $- 90 u^{- \frac{1}{2}}$ et $7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}} + (- 30 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2}{4} d u$

Étape 8.69

Remettez dans l’ordre $- 30 u^{\frac{1}{2}}$ et $7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{180 u^{- \frac{1}{2}} + (7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2}{4} d u$

Étape 8.70

Remettez dans l’ordre $180 u^{- \frac{1}{2}}$ et $(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{20 u \cdot 3 u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $3$ par $20$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{60 u \cdot u^{- \frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Déplacez $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{60 (u^{- \frac{1}{2}} u)}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2.2

Multipliez $u^{- \frac{1}{2}}$ par $u$ .

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Étape 9.2.2.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{60 (u^{- \frac{1}{2}} u^{1})}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int \frac{60 u^{- \frac{1}{2} + 1}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{60 u^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{60 u^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.3

Factorisez $4$ à partir de $60 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4 (1)} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4 \cdot 1} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.4.4

Divisez $15 u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{20 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.5

Factorisez $4$ à partir de $20 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (5 u^{\frac{3}{2}})}{4} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (5 u^{\frac{3}{2}})}{4 (1)} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{4 (5 u^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 1} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.6.4

Divisez $5 u^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{60 u^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.7

Factorisez $4$ à partir de $60 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.8.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4 (1)} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{4 (15 u^{\frac{1}{2}})}{4 \cdot 1} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.8.4

Divisez $15 u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + 15 u^{\frac{1}{2}} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.9

Additionnez $15 u^{\frac{1}{2}}$ et $15 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{(7 u^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.10

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{(14 u^{- \frac{1}{2}} - 30 u^{\frac{1}{2}} - 90 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.11

Soustrayez $90 u^{- \frac{1}{2}}$ de $14 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{(- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}}) \cdot 2 + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.12

Déplacez $2$ à gauche de $- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}}) + 180 u^{- \frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 9.13

Factorisez $2$ à partir de $180 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}}) + 2 (90 u^{- \frac{1}{2}})}{4} d u$

Étape 9.14

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}}) + 2 (90 u^{- \frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}} + 90 u^{- \frac{1}{2}})}{4} d u$

Étape 9.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.15.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}} + 90 u^{- \frac{1}{2}})}{2 \cdot 2} d u$

Étape 9.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}} + 90 u^{- \frac{1}{2}})}{2 \cdot 2} d u$

Étape 9.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} - 76 u^{- \frac{1}{2}} + 90 u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 9.16

Additionnez $- 76 u^{- \frac{1}{2}}$ et $90 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{- 30 u^{\frac{1}{2}} + 14 u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 9.17

Factorisez $2$ à partir de $- 30 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 15 u^{\frac{1}{2}}) + 14 u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Étape 9.18

Factorisez $2$ à partir de $14 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 15 u^{\frac{1}{2}}) + 2 (7 u^{- \frac{1}{2}})}{2} d u$

Étape 9.19

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 15 u^{\frac{1}{2}}) + 2 (7 u^{- \frac{1}{2}})$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}})}{2} d u$

Étape 9.20

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.20.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Étape 9.20.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (- 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Étape 9.20.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + \frac{- 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}}}{1} d u$

Étape 9.20.4

Divisez $- 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int 30 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} - 15 u^{\frac{1}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 9.21

Soustrayez $15 u^{\frac{1}{2}}$ de $30 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int 15 u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} + 7 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int 15 u^{\frac{1}{2}} d u + \int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int 7 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 11

Comme $15$ est constant par rapport à $u$ , placez $15$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (15 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int 7 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (15 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int 7 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 13

Comme $5$ est constant par rapport à $u$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (15 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int 7 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (15 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int 7 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 15

Comme $7$ est constant par rapport à $u$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (15 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 7 \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (15 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + 7 (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Étape 17

Simplifiez

$\frac{1}{2} (10 u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{5}{2}} + 14 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} (10 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + 14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} (10 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2} (2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2

Simplifiez

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Étape 19.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 (5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{2} (2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 (5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}})) + \frac{1}{2} (2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} (2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}$ .

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} (2 ({(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}})) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} (2 {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}}) + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} (14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Étape 19.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $14 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} (2 (7 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})) + C$

Étape 19.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2} (2 (7 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})) + C$

Étape 19.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + 7 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{20 x^{2} - 30 x + 7}{\sqrt{2 x - 3}}$ .

$F (x) =$ $5 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}} + {(2 x - 3)}^{\frac{5}{2}} + 7 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}} + C$