Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x} + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{\frac{x}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{\sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 2.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 4.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $\sqrt{1}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5}{x}}}$

Étape 6.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}}$

Étape 6.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 5 \cdot 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.4

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{0}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{0^{2}}}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1 - 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.1.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1} - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{5 \cdot 0}}$

Étape 8.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0}}$

Étape 8.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{1}{1 - \sqrt{0^{2}}}$

Étape 8.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{1 - 0}$

Étape 8.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Étape 8.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 8.3

Divisez $1$ par $1$ .

$1$