Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Étape 1

Écrivez $x^{2} e^{x^{3} + 1}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} e^{x^{3} + 1} d x$

Étape 4

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = x^{3} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Étape 8

Simplifiez

$\frac{1}{3} e^{u} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} e^{x^{3} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} e^{x^{3} + 1} + C$