Calcul infinitésimal Exemples

$y^{x y}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $y^{x y}$ comme $e^{\ln (y^{x y})}$ .

$\frac{d}{d y} [e^{\ln (y^{x y})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln (y^{x y})$ en déplaçant $x y$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d y} [e^{x y \ln (y)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = x y \ln (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y \ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} \frac{d}{d y} [x y \ln (y)]$

Étape 3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y \ln (y)$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

$e^{x y \ln (y)} (x \frac{d}{d y} [y \ln (y)])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = \ln (y)$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 5

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez $y$ et $\frac{1}{y}$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x y \ln (y)} (x (\frac{y}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \frac{d}{d y} [y]))$

Étape 6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y) \cdot 1))$

Étape 6.4

Multipliez $\ln (y)$ par $1$ .

$e^{x y \ln (y)} (x (1 + \ln (y)))$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1 + x \ln (y))$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x y \ln (y)} (x \cdot 1) + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Étape 7.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} (x \ln (y))$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x y \ln (y)} x + e^{x y \ln (y)} x \ln (y)$