Calcul infinitésimal Exemples

$3 x y + 3 y + 5 = - 3 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 x y + 3 y + 5) = \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y + 3 y + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 (x y' + y) + 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 (x y' + y) + 3 y' + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (x y') + 3 y + 3 y' + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $3 x y' + 3 y + 3 y'$ et $0$ .

$3 x y' + 3 y + 3 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x y' + 3 y + 3 y' = - 3$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 x y' + 3 y' = - 3 - 3 y$

Étape 5.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x y' + 3 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 x y'$ .

$3 y' x + 3 y' = - 3 - 3 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y'$ .

$3 y' x + 3 y' \cdot 1 = - 3 - 3 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' x + 3 y' \cdot 1$ .

$3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ par $3 (x + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (x + 1) = - 3 - 3 y$ par $3 (x + 1)$ .

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (x + 1)}{3 (x + 1)} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 \cdot - 1}{3 (x + 1)} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- 3 y}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{3 (- y)}{3 (x + 1)}$

Étape 5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 1 - y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - y}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- 1 (1) - (y)}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (y)$ .

$y' = \frac{- 1 (1 + y)}{x + 1}$

Étape 5.3.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1 + y}{x + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y}{x + 1}$