Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{3} [2 y - (y^{2} - 3)] d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 1}^{3} 2 y - (y^{2} - 3) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{3} 2 y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{- 1}^{3} y d y + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - (y^{2} - 3) d y$

Étape 6

Multipliez $- (y^{2} - 3)$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} - - 3 d y$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} + 3 d y$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} - y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - \int_{- 1}^{3} y^{2} d y + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + \int_{- 1}^{3} 3 d y$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 1}^{3}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 1}^{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 3 y]_{- 1}^{3}$

Étape 13.3

Évaluez $3 y$ sur $3$ et sur $- 1$ .

$2 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{9 - 1}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.4

Soustrayez $1$ de $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 13.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{1}) - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2 \cdot 4 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 - (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$8 - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.8

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 13.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.8.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$8 - (9 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 - (9 - \frac{- 1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 - (9 - - \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 - (9 + 1 (\frac{1}{3})) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$8 - (9 + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.13

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.14

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$8 - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 - \frac{9 \cdot 3 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.16.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$8 - \frac{27 + 1}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.16.2

Additionnez $27$ et $1$ .

$8 - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.17

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.18

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 3 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.20.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 - 28}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.20.2

Soustrayez $28$ de $24$ .

$\frac{- 4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3} + (3 \cdot 3) - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.22

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{4}{3} + 9 - 3 \cdot - 1$

Étape 13.4.23

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- \frac{4}{3} + 9 + 3$

Étape 13.4.24

Additionnez $9$ et $3$ .

$- \frac{4}{3} + 12$

Étape 13.4.25

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13.4.26

Associez $12$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Étape 13.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 + 12 \cdot 3}{3}$

Étape 13.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.28.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{- 4 + 36}{3}$

Étape 13.4.28.2

Additionnez $- 4$ et $36$ .

$\frac{32}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32}{3}$

Forme décimale :

$10.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$10 \frac{2}{3}$

Étape 15