Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to a} {(2 x - 1)}^{5}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez l’exposant $5$ de ${(2 x - 1)}^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to a} 2 x - 1)}^{5}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $a$ .

${(lim_{x \to a} 2 x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Étape 1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

${(2 lim_{x \to a} x - lim_{x \to a} 1)}^{5}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $a$ .

${(2 lim_{x \to a} x - 1 \cdot 1)}^{5}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $a$ pour $x$ .

${(2 a - 1 \cdot 1)}^{5}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(2 a - 1)}^{5}$

Étape 3.2

Utilisez le théorème du binôme.

${(2 a)}^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$2^{5} a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$32 a^{5} + 5 {(2 a)}^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.3

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$32 a^{5} + 5 (2^{4} a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.4

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$32 a^{5} + 5 (16 a^{4}) \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.5

Multipliez $16$ par $5$ .

$32 a^{5} + 80 a^{4} \cdot - 1 + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.6

Multipliez $- 1$ par $80$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 {(2 a)}^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.7

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (2^{3} a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 10 (8 a^{3}) {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.9

Multipliez $8$ par $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} {(- 1)}^{2} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.10

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} \cdot 1 + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.11

Multipliez $80$ par $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 {(2 a)}^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.12

Appliquez la règle de produit à $2 a$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (2^{2} a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 10 (4 a^{2}) {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.14

Multipliez $4$ par $10$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} {(- 1)}^{3} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.15

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} + 40 a^{2} \cdot - 1 + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.16

Multipliez $- 1$ par $40$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 5 (2 a) {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.17

Multipliez $2$ par $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.18

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a \cdot 1 + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.19

Multipliez $10$ par $1$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a + {(- 1)}^{5}$

Étape 3.3.20

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$32 a^{5} - 80 a^{4} + 80 a^{3} - 40 a^{2} + 10 a - 1$