Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 4 \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to - 3} \ln (- 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{4 \ln (lim_{x \to - 3} - 2 - x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- lim_{x \to - 3} 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 - lim_{x \to - 3} x)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{4 \ln (- 1 \cdot 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4 \ln (- 2 + 3)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.5.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{4 \ln (1)}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.5.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.2.5.2.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - 3}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} 3 e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.6

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - lim_{x \to - 3} 3}$

Étape 1.3.1.7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot - 3 + 6} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{0}{3 e^{- 6 + 6} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \ln (- 2 - x)}{3 e^{2 x + 6} - 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [4 \ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \ln (- 2 - x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 \frac{d}{d x} [\ln (- 2 - x)]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = - 2 - x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 - x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4 (\frac{1}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.4

Associez $\frac{1}{- 2 - x}$ et $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- 2 - x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} (- 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{- 2 - x} \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.11

Associez $\frac{4}{- 2 - x}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4 \cdot - 1}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.12

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{- 4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 2 - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2) - (x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (x)$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- \frac{4}{- 1 (2 + x)}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 3} \frac{- - \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{1 \frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.14.6

Multipliez $\frac{4}{2 + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6} - 3]}$

Étape 3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{2 x + 6} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x + 6}]$ .

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Étape 3.16.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{2 x + 6}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x + 6}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x + 6$ .

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Étape 3.16.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 6$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \frac{d}{d x} [2 x + 6]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (e^{2 x + 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.9

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x + 6}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{3 (2 e^{2 x + 6}) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.16.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Étape 3.17

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6} + 0}$

Étape 3.18

Additionnez $6 e^{2 x + 6}$ et $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{4}{2 + x}}{6 e^{2 x + 6}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{2 + x} \cdot \frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{4}{2 + x}$ par $\frac{1}{6 e^{2 x + 6}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{4}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{(2 + x) (6 e^{2 x + 6})}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 + x) (6 e^{2 x + 6})$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 (2)}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 \cdot 2}{2 ((2 + x) (3 e^{2 x + 6}))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - 3} \frac{2}{(2 + x) (3 e^{2 x + 6})}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{(2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} (2 + x) (e^{2 x + 6})}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} 2 + x \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to - 3} 2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot lim_{x \to - 3} e^{2 x + 6}}$

Étape 12

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + 6}}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Étape 14

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6}}$

Étape 15

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 + lim_{x \to - 3} x) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 lim_{x \to - 3} x + 6}}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{(2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Associez.

$\frac{2 \cdot 1}{3 ((2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6})}$

Étape 17.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) \cdot e^{2 \cdot - 3 + 6}}$

Étape 17.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.3.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{2}{3 (2 - 3) e^{- 6 + 6}}$

Étape 17.3.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3 \cdot - 1 e^{- 6 + 6}}$

Étape 17.3.3

Associez les exposants.

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Étape 17.3.3.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{2}{- (3 e^{- 6 + 6})}$

Étape 17.3.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{2}{- 3 e^{- 6 + 6}}$

Étape 17.3.4

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$\frac{2}{- 3 e^{0}}$

Étape 17.3.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 1}$

Étape 17.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{2}{- 3}$

Étape 17.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3}$