Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Étape 1

Écrivez $\sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot (\cos^{2} (x) \cos (x)) d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \cdot ((1 - \sin^{2} (x)) \cos (x)) d x$

Étape 6

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Étape 7

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Étape 8

Multipliez $u^{2} (1 - u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot 1 + u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} (- u^{2}) d u$

Étape 9.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.2.1

Déplacez $u^{2}$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} \cdot - 1 d u$

Étape 9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} \cdot - 1 d u$

Étape 9.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} \cdot - 1 d u$

Étape 9.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $u^{4}$ .

$\int u^{2} - 1 \cdot u^{4} d u$

Étape 9.4

Réécrivez $- 1 u^{4}$ comme $- u^{4}$ .

$\int u^{2} - u^{4} d u$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{2} d u + \int - u^{4} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - u^{4} d u$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - \int u^{4} d u$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 14

Simplifiez

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 15

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin^{2} (x) \cdot \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (x) + C$