Calcul infinitésimal Exemples

$y = (1 + a t) {(c t)}^{- 2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 1 + a t$ et $g (t) = {(c t)}^{- 2}$ .

$(1 + a t) \frac{d}{d t} [{(c t)}^{- 2}] + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 2}$ et $g (t) = c t$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $c t$ .

$(1 + a t) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$(1 + a t) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [c t]) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Comme $c$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $c t$ par rapport à $t$ est $c \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \frac{d}{d t} [t])) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} (c \cdot 1)) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 3.3

Multipliez $c$ par $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + a t]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + a t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [a t])$

Étape 3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [a t])$

Étape 3.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [a t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [a t]$

Étape 3.7

Comme $a$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $a t$ par rapport à $t$ est $a \frac{d}{d t} [t]$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} (a \frac{d}{d t} [t])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + {(c t)}^{- 2} a \cdot 1$

Étape 3.9

Multipliez ${(c t)}^{- 2}$ par $1$ .

$(1 + a t) (- 2 {(c t)}^{- 3} c) + a \cdot {(c t)}^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a {(c t)}^{- 2}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $c t$ .

$(1 + a t) (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$1 (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$1 (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 (c^{- 2} t^{- 3}) + a t (- 2 (c^{- 3} t^{- 3}) c) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.5

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 (c^{1} c^{- 3}) t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{1 - 3} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.7

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a t (- 2 c^{- 2} t^{- 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.8

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} (t^{1} t^{- 3})) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{1 - 3}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.10

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} + a (- 2 c^{- 2} t^{- 2}) + a (c^{- 2} t^{- 2})$

Étape 4.4.11

Additionnez $a (- 2 c^{- 2} t^{- 2})$ et $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

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Étape 4.4.11.1

Remettez dans l’ordre $a$ et $- 2$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2} + a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.4.11.2

Additionnez $- 2 \cdot a c^{- 2} t^{- 2}$ et $a c^{- 2} t^{- 2}$ .

$- 2 c^{- 2} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{c^{2}}$ .

$\frac{- 2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{c^{2}} t^{- 3} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{3}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5.5

Multipliez $\frac{1}{t^{3}}$ par $\frac{2}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a c^{- 2} t^{- 2}$

Étape 4.5.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - a \frac{1}{c^{2}} t^{- 2}$

Étape 4.5.7

Associez $\frac{1}{c^{2}}$ et $a$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} t^{- 2}$

Étape 4.5.8

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{c^{2}} \cdot \frac{1}{t^{2}}$

Étape 4.5.9

Multipliez $\frac{1}{t^{2}}$ par $\frac{a}{c^{2}}$ .

$- \frac{2}{t^{3} c^{2}} - \frac{a}{t^{2} c^{2}}$