Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 1) (x + 2)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x + 2))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 2$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$x - 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x - 1 + (x + 2) (1 + 0)$

Étape 3.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$x - 1 + (x + 2) \cdot 1$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$x - 1 + x + 2$

Étape 3.2.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$2 x - 1 + 2$

Étape 3.2.8.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$2 x + 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 2 x + 1$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + 1$