Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 12}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x^{3}$ par $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x^{2}$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $45$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ et $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [90 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (90 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [90 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $90$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $90 x$ par rapport à $x$ est $90 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $90$ par $1$ .

$f'' (x) = - 9 x^{2} + 6 x + 90$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4} x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.6

Associez $\frac{- 12}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $4$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x^{3}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x^{3}$ par $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [45 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $45$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $45 x^{2}$ par rapport à $x$ est $45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 45 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $45$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ et $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 3 x^{2} + 90 x$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 90 x = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- x) + 90 x = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $90 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x (- x) - 3 x \cdot - 30 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- x)$ .

$- 3 x (x^{2} - x) - 3 x \cdot - 30 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2} - x) - 3 x (- 30)$ .

$- 3 x (x^{2} - x - 30) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 30$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 30$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 6, 5$

Étape 5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x ((x - 6) (x + 5)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x - 6) (x + 5) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 5.6

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x (x - 6) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 0, 6, - 5$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 6, - 5$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 {(0)}^{2} + 6 (0) + 90$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 9 \cdot 0 + 6 (0) + 90$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 + 6 (0) + 90$

Étape 9.1.3

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 + 90$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 90$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $90$ .

$90$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - \frac{3}{4} \cdot {(0)}^{4} + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{4} \cdot 0 + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot 0$ .

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Étape 11.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{4}) + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Étape 11.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{4}$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} + 45 {(0)}^{2} + 12$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 45 {(0)}^{2} + 12$

Étape 11.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 45 \cdot 0 + 12$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $45$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 12$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 12$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 12$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $12$ .

$f (0) = 12$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $12$ .

$y = 12$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 6$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 {(6)}^{2} + 6 (6) + 90$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$- 9 \cdot 36 + 6 (6) + 90$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 9$ par $36$ .

$- 324 + 6 (6) + 90$

Étape 13.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$- 324 + 36 + 90$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 13.2.1

Additionnez $- 324$ et $36$ .

$- 288 + 90$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 288$ et $90$ .

$- 198$

Étape 14

$x = 6$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 6$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 6$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - \frac{3}{4} \cdot {(6)}^{4} + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f (6) = - \frac{3}{4} \cdot 1296 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot 1296 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $1296$ .

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot (4 (324)) + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (6) = \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot 324) + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (6) = - 3 \cdot 324 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $324$ .

$f (6) = - 972 + {(6)}^{3} + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 45 {(6)}^{2} + 12$

Étape 15.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 45 \cdot 36 + 12$

Étape 15.2.1.6

Multipliez $45$ par $36$ .

$f (6) = - 972 + 216 + 1620 + 12$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 972$ et $216$ .

$f (6) = - 756 + 1620 + 12$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $- 756$ et $1620$ .

$f (6) = 864 + 12$

Étape 15.2.2.3

Additionnez $864$ et $12$ .

$f (6) = 876$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $876$ .

$y = 876$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) + 90$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- 9 \cdot 25 + 6 (- 5) + 90$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 9$ par $25$ .

$- 225 + 6 (- 5) + 90$

Étape 17.1.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$- 225 - 30 + 90$

Étape 17.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 17.2.1

Soustrayez $30$ de $- 225$ .

$- 255 + 90$

Étape 17.2.2

Additionnez $- 255$ et $90$ .

$- 165$

Étape 18

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = - \frac{3}{4} \cdot {(- 5)}^{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$f (- 5) = - \frac{3}{4} \cdot 625 + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot 625$ .

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Étape 19.2.1.2.1

Multipliez $625$ par $- 1$ .

$f (- 5) = - 625 (\frac{3}{4}) + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.2.2

Associez $- 625$ et $\frac{3}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 3}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.2.3

Multipliez $- 625$ par $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + {(- 5)}^{3} + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.4

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 45 {(- 5)}^{2} + 12$

Étape 19.2.1.5

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 45 \cdot 25 + 12$

Étape 19.2.1.6

Multipliez $45$ par $25$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} - 125 + 1125 + 12$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 19.2.2.1

Écrivez $- 125$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125}{1} + 1125 + 12$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{- 125}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1125 + 12$

Étape 19.2.2.3

Multipliez $\frac{- 125}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + 1125 + 12$

Étape 19.2.2.4

Écrivez $1125$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125}{1} + 12$

Étape 19.2.2.5

Multipliez $\frac{1125}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125}{1} \cdot \frac{4}{4} + 12$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $\frac{1125}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + 12$

Étape 19.2.2.7

Écrivez $12$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12}{1}$

Étape 19.2.2.8

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 19.2.2.9

Multipliez $\frac{12}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{1875}{4} + \frac{- 125 \cdot 4}{4} + \frac{1125 \cdot 4}{4} + \frac{12 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 125 \cdot 4 + 1125 \cdot 4 + 12 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1

Multipliez $- 125$ par $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 1125 \cdot 4 + 12 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $1125$ par $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 4500 + 12 \cdot 4}{4}$

Étape 19.2.4.3

Multipliez $12$ par $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 1875 - 500 + 4500 + 48}{4}$

Étape 19.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.5.1

Soustrayez $500$ de $- 1875$ .

$f (- 5) = \frac{- 2375 + 4500 + 48}{4}$

Étape 19.2.5.2

Additionnez $- 2375$ et $4500$ .

$f (- 5) = \frac{2125 + 48}{4}$

Étape 19.2.5.3

Additionnez $2125$ et $48$ .

$f (- 5) = \frac{2173}{4}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $\frac{2173}{4}$ .

$y = \frac{2173}{4}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \frac{3}{4} x^{4} + x^{3} + 45 x^{2} + 12$ .

$(0, 12)$ est un minimum local

$(6, 876)$ est un maximum local

$(- 5, \frac{2173}{4})$ est un maximum local

Étape 21