Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - 6 \sqrt{x} d x$

Étape 7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int \sqrt{x} d x$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Associez $4$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 10.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.3.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.4

Associez $- 6$ et $\frac{2}{3}$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.5

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 12}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.6

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 10.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 4}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 10.2.6.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $3 x^{\frac{4}{3}} - 4 x^{\frac{3}{2}} + C$