Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \ln (x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \ln (lim_{x \to 0} x + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \ln (0 + 1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2 \ln (1) + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.8.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.8.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.8.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - 2 x^{3}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Étape 1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Étape 1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 x^{3}}$

Étape 1.3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.3.5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 \sin (0) - 2 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.7.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0^{3}}$

Étape 1.3.7.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 - 2 \cdot 0}$

Étape 1.3.7.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (x + 1) + 2 x}{4 \sin (x) - 2 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1) + 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \ln (x + 1) + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \ln (x + 1)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \ln (x + 1)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{1}{x + 1} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.7

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{1}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.3.8

Associez $2$ et $\frac{1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + 2}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Associez des termes.

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Étape 3.5.1.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{x + 1} + \frac{2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.5.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 + 2 (x + 1)}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x) - 2 x^{3}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \sin (x) - 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Étape 3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

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Étape 3.7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Étape 3.7.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 2 (3 x^{2})}$

Étape 3.8.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{4 \cos (x) - 6 x^{2}}$

Étape 3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1} \cdot \frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2 (x + 1) + 2}{x + 1}$ par $\frac{1}{- 6 x^{2} + 4 \cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $2 (x + 1) + 2$ et $- 6 x^{2} + 4 \cos (x)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1) + 2 (1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Étape 5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 1) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))}$

Étape 5.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(x + 1) (- 6 x^{2} + 4 \cos (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x + 1 + 1)}{2 ((x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x)))}$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 1 + 1}{(x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} (x + 1) (- 3 x^{2} + 2 \cos (x))}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{lim_{x \to 0} x + 1 \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Étape 12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot lim_{x \to 0} - 3 x^{2} + 2 \cos (x)}$

Étape 13

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Étape 14

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Étape 15

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2 \cos (x))}$

Étape 16

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 0} \cos (x))}$

Étape 17

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 18

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 18.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(lim_{x \to 0} x + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 18.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 18.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (lim_{x \to 0} x))}$

Étape 18.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Étape 19

Simplifiez la réponse.

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Étape 19.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 + 1}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Étape 19.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{(0 + 1) \cdot (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Étape 19.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 19.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{2}{1 (- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0))}$

Étape 19.2.2

Multipliez $- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)$ par $1$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0^{2} + 2 \cos (0)}$

Étape 19.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{- 3 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Étape 19.2.4

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cos (0)}$

Étape 19.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 19.2.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{0 + 2}$

Étape 19.2.7

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2}{2}$

Étape 19.3

Divisez $2$ par $2$ .

$1$