Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int e^{2 x + 3} d x + \int 4 x^{2} d x$

Étape 5

Laissez $u = 2 x + 3$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 2 x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 x^{2} d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) + \int 4 x^{2} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $5$ .

$\frac{5}{2} \int e^{u} d u + \int 4 x^{2} d x$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + \int 4 x^{2} d x$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 \int x^{2} d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{5}{2} (e^{u} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{5}{2} e^{u} + 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 12.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} e^{u} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 3$ .

$\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 e^{2 x + 3} + 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{2} e^{2 x + 3} + \frac{4}{3} x^{3} + C$