Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} (\frac{1}{4} x^{2}) (2 x^{2}) (3 - x) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} (x^{2} x^{2}) \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{2 + 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{4} x^{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{4} \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 (2)} \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} \cdot 2 (3 - x) d x$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} (3 - x) d x$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4}}{2} \cdot 3 + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Étape 1.5

Associez $\frac{x^{4}}{2}$ et $3$ .

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} + \frac{x^{4}}{2} (- x) d x$

Étape 1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\int_{0}^{3} \frac{x^{4} \cdot 3}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{4}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 \cdot x^{4}}{2} - \frac{x^{4}}{2} x d x$

Étape 1.7.2

Multipliez $- \frac{x^{4}}{2} x$ .

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Étape 1.7.2.1

Associez $x$ et $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x \cdot x^{4}}{2} d x$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 1.7.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1} x^{4}}{2} d x$

Étape 1.7.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{1 + 4}}{2} d x$

Étape 1.7.2.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} \frac{3 x^{4}}{2} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Étape 3

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{x^{5}}{2} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{x^{5}}{2} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{3} x^{5} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{3}{2} \frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $\frac{1}{5} x^{5}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{1}{5} \cdot 3^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} \frac{1}{6} x^{6}]_{0}^{3}$

Étape 8.2

Évaluez $\frac{1}{6} x^{6}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 3^{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{5} \cdot 243 - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $243$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0^{5}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} - \frac{1}{5} \cdot 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0 (\frac{1}{5})) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{243}{5} + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.6

Additionnez $\frac{243}{5}$ et $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{243}{5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.7

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{243}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 243}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.8

Multipliez $3$ par $243$ .

$\frac{729}{2 \cdot 5} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.9

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 3^{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.10

Élevez $3$ à la puissance $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.11

Associez $\frac{1}{6}$ et $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.12

Annulez le facteur commun à $729$ et $6$ .

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Étape 8.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0^{6})$

Étape 8.3.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 0)$

Étape 8.3.14

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0 (\frac{1}{6}))$

Étape 8.3.15

Multipliez $0$ par $\frac{1}{6}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} (\frac{243}{2} + 0)$

Étape 8.3.16

Additionnez $\frac{243}{2}$ et $0$ .

$\frac{729}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{243}{2}$

Étape 8.3.17

Multipliez $\frac{243}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{2 \cdot 2}$

Étape 8.3.18

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{729}{10} - \frac{243}{4}$

Étape 8.3.19

Pour écrire $\frac{729}{10}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4}$

Étape 8.3.20

Pour écrire $- \frac{243}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729}{10} \cdot \frac{2}{2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.21.1

Multipliez $\frac{729}{10}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{10 \cdot 2} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.21.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243}{4} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 8.3.21.3

Multipliez $\frac{243}{4}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{4 \cdot 5}$

Étape 8.3.21.4

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{729 \cdot 2}{20} - \frac{243 \cdot 5}{20}$

Étape 8.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{729 \cdot 2 - 243 \cdot 5}{20}$

Étape 8.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.23.1

Multipliez $729$ par $2$ .

$\frac{1458 - 243 \cdot 5}{20}$

Étape 8.3.23.2

Multipliez $- 243$ par $5$ .

$\frac{1458 - 1215}{20}$

Étape 8.3.23.3

Soustrayez $1215$ de $1458$ .

$\frac{243}{20}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{243}{20}$

Forme décimale :

$12.15$

Forme de nombre mixte :

$12 \frac{3}{20}$

Étape 10