Calcul infinitésimal Exemples

$y = t^{2} \ln^{4} (t)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \ln^{4} (t)$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln^{4} (t)] + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{4}$ et $g (t) = \ln (t)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (t)$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (t)$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{d}{d t} [\ln (t)]) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$t^{2} (4 \ln^{3} (t) \frac{1}{t}) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $4$ .

$t^{2} (\frac{4}{t} \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Associez $\frac{4}{t}$ et $\ln^{3} (t)$ .

$t^{2} \frac{4 \ln^{3} (t)}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.2

Associez $t^{2}$ et $\frac{4 \ln^{3} (t)}{t}$ .

$\frac{t^{2} (4 \ln^{3} (t))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t$ .

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Étape 4.2.3.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} (4 \ln^{3} (t))$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t^{1}} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (t (4 \ln^{3} (t)))}{t \cdot 1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{t (4 \ln^{3} (t))}{1} + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.2.3.2.5

Divisez $t (4 \ln^{3} (t))$ par $1$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$t (4 \ln^{3} (t)) + \ln^{4} (t) (2 t)$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 t \ln^{3} (t) + 2 t \ln^{4} (t)$