Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(- x - 1)}^{2} + 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(- x - 1)}^{2}$ comme $(- x - 1) (- x - 1)$ .

$f (x) = (- x - 1) (- x - 1) + 3$

Étape 1.2

Développez $(- x - 1) (- x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1) + 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1) + 3$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x) = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 1.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x) = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1 + 3$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) = x^{2} + x + x + 1 + 3$

Étape 1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1 + 3$

Étape 2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (x) = x^{2} + 2 x + 4$

Étape 3

Le minimum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est positif, la valeur minimale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{2}{2 (1)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{2}{2 (1)}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 1}$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = - 1 \cdot 1$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = - 1$

Étape 5

Évaluez $f (- 1)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 4$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 (- 1) + 4$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 4$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 4$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$f (- 1) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le minimum.

$(- 1, 3)$

Étape 7