Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 x + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $4 x + 2$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2}{x^{2} + x + 5} d x$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (2 x + 1)}{x^{2} + x + 5} d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 5} d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + x + 5$ . Alors $d u = (2 x + 1) d x$ , donc $\frac{1}{2 x + 1} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 5]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Étape 3.1.6

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$2 x + 1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$2 \ln (| u |) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + x + 5$ .

$2 \ln (| x^{2} + x + 5 |) + C$