Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x y) + 5 x = 30$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y) + 5 x) = \frac{d}{d x} (30)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x y) + 5 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x y)] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y) + 5$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y + 5$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y + 5$

Étape 2.4.2.2

Associez $\frac{x}{x y}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Étape 2.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y + 5$

Étape 2.4.2.4

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Étape 2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y} + 5$

Étape 2.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5$

Étape 3

Comme $30$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + 5 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $\frac{1}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} + 5 = - \frac{1}{x}$

Étape 5.1.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{x} - 5$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (- \frac{1}{x} - 5) y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{x} - 5) y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = - \frac{1}{x} y - 5 y$

Étape 5.3.2.1.2

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$y' = - \frac{y}{x} - 5 y$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} - 5 y$