Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{3 - lim_{x \to 9} \sqrt{x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{3 - \sqrt{lim_{x \to 9} x}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} 27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $27$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{27 - lim_{x \to 9} \sqrt{x^{3}}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{27 - \sqrt{lim_{x \to 9} x^{3}}}$

Étape 1.1.3.1.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{27 - \sqrt{{(lim_{x \to 9} x)}^{3}}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{9^{3}}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{729}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Réécrivez $729$ comme $27^{2}$ .

$\frac{0}{27 - \sqrt{27^{2}}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{27 - 1 \cdot 27}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$\frac{0}{27 - 27}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $27$ de $27$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{3 - \sqrt{x}}{27 - \sqrt{x^{3}}} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 9} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27 - \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $27 - \sqrt{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [27] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.7

Comme $27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})}$

Étape 1.3.8.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Étape 1.3.8.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})}$

Étape 1.3.8.7.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.8.8

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{0 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.9

Soustrayez $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.5.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 1.5.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 9} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} (- \frac{2}{3 \sqrt{x}})$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 9} 1 \frac{1}{2 \sqrt{x}} \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Étape 1.6.2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt{x}}$

Étape 1.6.3

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $\frac{2}{3 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{2 \sqrt{x} (3 \sqrt{x})}$

Étape 1.6.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 \sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 1.6.5

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})}$

Étape 1.6.6

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})}$

Étape 1.6.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.6.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{6 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {\sqrt{x}}^{2}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{2 (1)}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{2 \cdot 1}{2 (3 {\sqrt{x}}^{2})}$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{3 {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 9} \frac{1}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 9} {\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de ${\sqrt{x}}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 9} \sqrt{x})}^{2}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{lim_{x \to 9} x}}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{\sqrt{9}}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{9}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3 {\sqrt{3^{2}}}^{2}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$

Étape 4.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 9}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{1}{27}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{27}$

Forme décimale :

$0.\overline{037}$