Calcul infinitésimal Exemples

$y = (3 x - 1) (2 x + 5)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((3 x - 1) (2 x + 5))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x - 1$ et $g (x) = 2 x + 5$ .

$(3 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5] + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(3 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5]) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(3 x - 1) (2 + 0) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $3 x - 1$ .

$2 \cdot (3 x - 1) + (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) (3 + 0)$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$2 (3 x - 1) + (2 x + 5) \cdot 3$

Étape 3.2.12.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 5$ .

$2 (3 x - 1) + 3 \cdot (2 x + 5)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x + 5)$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 x) + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Étape 3.3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x + 2 \cdot - 1 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x - 2 + 3 (2 x) + 3 \cdot 5$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x - 2 + 6 x + 3 \cdot 5$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$6 x - 2 + 6 x + 15$

Étape 3.3.3.5

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$12 x - 2 + 15$

Étape 3.3.3.6

Additionnez $- 2$ et $15$ .

$12 x + 13$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 12 x + 13$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 12 x + 13$