Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$

Étape 1

La fonction $G (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$G (x) = \int 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int - \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int π d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int π d x$

Étape 9.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int π d x$

Étape 9.2.2

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int π d x$

Étape 9.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int π d x$

Étape 9.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int π d x$

Étape 9.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int π d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int π d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$5 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5} + C) - \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + π x + C$

Étape 12

Simplifiez

$3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $g (x) = 5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} + π$ .

$G (x) =$ $3 x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{1}{2}} + π x + C$